定长定角构造辅助圆问题
问题描述
在矩形ABC中，AB等于2√2，AD等于4。P是矩形内的一个动点，且始终保持着∠APB=90度。求DDP的最小值。
解题思路
要求解DP的最小值，需要探究P的运动轨迹，而P的运动轨迹是一个关键点。根据题意，我们可以发现矩形ABC中的AB是一个直径，所以可以以AB的中点为圆心构造一个辅助圆。P点在这个圆上运动。
最小值分析
要求解DP的最小值，在圆中是圆外一点和圆上一点的最小值，即过圆心和圆上一点的线段最短。我们可以通过分析不共线情况下的三角形来解释这点。若不共线，则组成一个三角形，在这个三角形中，任意两边之和大于第三边，所以DP永远大于OD。而当OPD三点共线时，DP和OP的和等于OD，即DP最短。所以最小值出现在当OPD三点共线的情况下，此时OP的最小值等于OD减去OP。
计算最小值
OD在三角形AOD中是斜边，所以OD等于√(OA²+AD²)，即√(2²+4²)=√18。半径OP等于√2。所以最小值为√18-√2=2√2。
小结
通过本题，我们可以得出以下两个需要注意的问题： 1. 定长定角线圆形的问题：要找到直径所对应的圆周角为90度，构造一个辅助圆。 2. 最小值问题：通过穿心线的概念，即过圆心和圆上一点的线段最短，可以求得DP的最小值。
通过以上分析和计算，可以得出最终答案为2√2。
