这是一道初中几何的经典好题，来看一下三角形ABC中，Ad垂直BC于D，那这里的ad就是一条高，并且已知bad等于二，CD等于三，还告诉我们这个三角形的一个内角BAC等于45度，最后要我们求这条高线的长度。
如果你之前见过这道题，你大概率见到的可能是做轴对称构造这个正方形，也就是半角模型，或者是构造辅助圆，或者是用高中的超纲的三角函数知识。但是在我看来，这些方法都是舍近求远，其实我们按照最基本的思路就可以把这道题给解决了。
来分析一下，其实这里面所涉及到的条件它并不复杂，那就是一个三角形做了一条高，把它分成了两个直角三角形，由于这里有两条直角边都已知要求这条高，很明显长度至关重。主要因此勾股定理应该能够派上用场，考虑到这个题难度比较复杂，所以我们肯定要设一下未知数，看能不能列个方程解出来，所以我们就干脆把这条高设为X，那由此是不是就可以把这两个斜边算出来，先把斜边AB算出来，等于根号两个直角边平方和，也就是根号X平方加四，另一条直角边，另一条斜边AC在右边，用勾股定理可以把AC算出来等于根号X平方加三的平方，也就是九。当我们把这些长度都表示出来之后还差一个关键的条件用来列方程，哪个条件呢？
那就是这个45度，接下来就是考验基本功的时候，这个45度如何发挥它的用途？这个问题我之前在课堂上不停的强调，当你看到这种特殊角，想要发挥用途，你就一定要把它放到一个直角三角形里面去，但是目前你找不到一个直角三角形怎么办？没有条件，创造条件也得上，我们只要过点C，就这样做一条高CE，那么这里的ACE就是一个直角三角形，并且有一个45度，那它明显是一个等腰直角三角形，我们知道等腰直角三角形三边关系，斜边是直角边的根号二倍，那我又知道AC的长度等于这个式子，那么这样来CE的长度也就有了，它是AC除以根号二，也就是根号1/2乘这个AC的长度。当我们把这些该表示出来的长度都表示出来呢？
那最后一个方法我们就可以列出一个方程，一个三角形如果出现了两条高，又是靠基本功的时候了。出现两条高我们必然是要用面积法，由于底乘高等于面积的，除以二等于面积，那因此这个底乘这个高一定会等于面积的两倍，那另外一个角度AB这条底边乘上它所对应的高肯定也会等于这个三角形面积的两倍，那因此这两对底乘高一定是相等的。接着把我们已知的这些式子都带进去，很明显可以列个方程，BC就是二加三等于五，Ad就是这条高就是X等于AB，这条边我们已经表示出来了，是根号X平方加四，而CE这条边也表示了。是根号1/2乘X平方加九，那至此就变成一个解方程的问题，这个方程并不复杂呀，你只要先两边同时平方，再把这个二乘过去，那最后你把X平方看成一个整体，那它就是一个一元二次方程，写的过程我就不写了，最后算到X等于六，这道题就做完了。
由此可见，最精妙的方法，它不一定是天马行空的灵感，它很有可能是来源于最基本的方法，但是需要一些能够透过现象看本质的核心的数学思想。
