下面的这个例子将会告诉我们对数的现实意义,就是主观选择的代价。假设现在有个袋子装着N键食物,小明每隔T时间从袋子里随机拿一件食物,吃M键食物后可以吃饱。
第一种情况,如果小明不挑食,拿到什么吃什么,那吃饱所用的时间自然是M×T。第二种情况,如果小明挑食,拿到不喜欢的就放回去,等T时间后重新选择。这时候多长时间小明才能够吃饱呢?我们高中都学习过离散随机变量的分布列,假设小明DK次拿到心仪食物所需的时间为CK,我们可以计算CK的变化量,也就是每一件心仪食物等待时长的分布列,如下所示。进而我们可以计算这个等待时长的期望值,而小明吃饱所用的时间期望,就是所有这些等待时长的期望的总和,这个总和的范围位于这样一个对数型区间当中。
实际上,稀疏事件中的主动选择一定会带来对数倍数的时间代价,这对于我们组织生产生活是非常有用的一个指导原理。