题目：四种基本不等式解法
引言： 在今天的讲解中，我们将介绍四种常用的基本不等式解法，用以解决不等式问题。这四种方法包括完全对称法、换元法、提取公因式构造均值不等式法以及判别式法。针对不同类型的不等式问题，我们将分别运用这些方法来解决。
方法一：完全对称法 完全对称法要求不等式在字母互换后保持不变，但并不是所有问题都符合完全对称的条件。对于不对称的问题，我们通常会使用换元法，以使不等式变得对称。例如，我们令$2Y=T$，这将使条件变为$X+T+TY=8$。然后，我们交换$X$和$T$的位置，注意到不等式并没有改变，因此它符合完全对称法的条件。完全对称法要求字母相等时取得最值，因此我们令$X=T$，解得$X=-4$或$X=2$。由于$X$必须大于零，所以$X$只能等于2。因此，$X+2Y$的最小值应在$X=T=2$时取得，最小值为4。
方法二：求谁留谁 "求谁留谁"的核心思想是将问题中的变量全部转化为问题中已知的变量。在这个问题中，我们要求的是$X+2Y$的最小值，而已知条件中除了$X+2Y$外还有$2XY$的两倍。因此，我们可以利用基本不等式将$2XY$转化为$X+2Y$。经过化简，我们得到一个关于$X+2Y$的一元二次方程，从而解得$X+2Y$的最小值为4。
方法三：提取公因式构造均值不等式 当条件中同时涉及到$XY$的和和$XY$的积时，我们可以通过不断提取公因式来构造基本不等式。首先，我们注意到条件中都包含$2Y$，因此我们可以将其因式分解为$(X+2Y)(X+1)=8$。为了进一步构造基本不等式，我们需要凑出$(X+1)$这个因子，因此我们同时在等式两边加1。这样，我们得到$(X+1)(2Y+1)=9$。我们知道积有定值，和就有最值，因此根据基本不等式，$(X+1)+(2Y+1)\geq2\sqrt{(X+1)(2Y+1)}$。经过化简，我们得到$X+2Y$的最小值为4。
方法四：判别式法 判别式法的第一步是将问题转化为一个系数为$Z$的等式，因此我们令$X=Z-2Y$。然后，通过变换条件等式，我们得到$4Y^2-2ZY+8-Z=0$。在这里，我们将$Y$视为变量，$Z$视为系数，得到一个关于$Y$的一元二次方程。由于$Y$必有解，因此该一元二次方程的判别式应大于等于零。经过计算，我们得到$Z^2+4Z-32\geq0$。考虑到$Z=X+2Y$，且$X$和$Y$都为正数，因此$Z$也应大于零。从而我们解得$Z\geq4$，即$X+2Y\geq4$。
结论： 通过以上四种方法，我们成功解决了不等式问题，得出$X+2Y$的最小值为4。这些方法在不同情况下都具有应用价值，可以帮助我们更好地处理不等式问题。
