标题：解析期中考试数学题 - 三角形的边长问题
引言 期中考试中出现的数学难题，有些题目虽然不是压轴题，但却容易出错。今天我们将解析这样一道题，它让许多学生犯了错，考点在于细节和应用。让我们一步步来看这道题，了解为什么它如此具有挑战性。
问题背景 已知三角形的三边长分别为A、B、C，满足以下条件：A^2 + B^2 = 10A + 10B - 41，而C是三角形中的最长边。我们需要找出C的取值范围。
第一步：三角形不等式 首先，我们知道三角形的基本性质，即三边必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，以及各边的长度都应为正数。
第二步：将方程移项 现在，让我们看看这个条件。我们将方程中的项移到一边，简化问题。这一步骤的目标是将方程凑成完全平方的形式。
第三步：凑完全平方 将A^2 - 10A 和 B^2 - 8B 移项并加入适当的常数，以凑成完全平方的形式。我们可以使用一些技巧来实现这一目标。例如，将A^2 - 10A这一项凑成完全平方的形式，需要加上一半的A系数的平方。类似地，对B^2 - 8B，我们需要加上一半的B系数的平方。
第四步：完全平方的运用 通过这些步骤，我们得到了A - 5 的平方加上 B - 4 的平方等于零的方程。这是一个典型的完全平方公式，其结果始终大于等于零。这表明C的值需要满足这个等式，即C需要等于A - 5 且等于 B - 4，或者在两者之间。
第五步：确定C的取值范围 最后，我们需要确定C的取值范围。由于C是最长的边，它必须大于或等于A和B中的最大者，但不能等于A或B的较小者。因此，C的范围是大于等于5且小于9，即 5 <= C < 9。
结论 这道题的难点在于许多学生在求解C的取值范围时犯了错误。他们忘记了C是最长边的条件，因此C不等于A或B的较小值。正确答案是C的范围为5到9之间。这个问题提醒我们在解题时要时刻注意细节和不等式的条件，以避免犯错。希望这个解析对你有所帮助。
