题目解析
式子观察
我们来观察给定的式子：$A = \frac{a-1}{a+5} \cdot |a| = \frac{a-1}{a+5}$
分式
观察可知，式子A是一个分式，且分母不等于零。
考虑排除a=1的情况
为了保证大家不会错，我们假设 $a-1 \neq 0$，这样可以确保式子$A$乘以$|a|$等于其本身。由此可知，$|a|$一定等于1.
考虑a的取值
根据前面的假设，我们可以推断a的可能值为正负一。然而，我们之前提到了除数不能等于零，所以只能得出$a = -1$.
考虑另一种情况
如果一个数乘以$|a|$等于它自身，我们可以再考虑另一种可能情况。假设这个数不等于1，则这个数只能是0，因为0乘以任何数都等于0。因此，我们得到另一种可能是 $\frac{a+5}{a-1} = 0$.
求解a的值
根据分数的性质，分母不等于零，所以分子一定等于零。因此我们得到 $a+5 = 0$，从而得到 $a = -5$.
综上所述，解的集合为 $a = -1, -5$. 对于所有分式，分母都不能为零，而绝对值的结果一定是正负两个值。根据以上推理，我们可以确定答案为 $a = -1, -5$.
解题总结
在解决分式问题时，首先要确保分母不为零。考虑绝对值时，要考虑结果的正负情况，并进行综合分析。通过观察和推理，我们可以得出正确的解答。
