题目：解析一道中考数学难题：直角三角形的特殊角度与等腰三角形性质
引言： 中考数学中，有一道被许多学校用作期中期末考试的真题，它的得分率极低，仅有5%的考生能够得分。虽然这道题难度较大，但实际上存在一些方法和技巧，只要我们掌握了正确的思路，便能够解答。下面将详细介绍如何解决这类题目。
题目描述： 考虑一个直角三角形ABC，其中∠C是直角，另外给定∠CAD为45度以及∠CAB等于67.5度。我们的目标是推导出一些条件，并求解CD的长度。
角度关系的推导： 首先，我们观察到∠CAB等于67.5度，那么可以通过这个角度以及直角∠C来导出其他角度的关系。考虑到∠CAD为45度，我们可以计算出∠BAD为22.5度（67.5度 - 45度），进而推出∠ACB也是22.5度（等腰直角三角形的性质）。因此，通过∠CAB和∠CAD，我们得到了三个关键角度：∠CAB = 67.5度，∠BAD = 22.5度，∠ACB = 22.5度。
构造等腰三角形： 我们知道，∠BAD = ∠ACB = 22.5度，这提示我们可以构造一个等腰三角形。为了实现这一点，我们需要找到一条垂线。在点D处做一条垂线，交直线AC于点E。这样，∠CED = 90度，并且∠CDE = 45度，因为∠CAD = 45度。
利用等腰三角形性质： 在等腰三角形CED中，CE = CD（等腰性质）。另外，∠CDE = 45度，∠CED = 90度。这使得我们可以应用"三线合一"的性质，即CE也是角ABC的角平分线和高线。因此，我们可以得出CE是角ABC中点，从而推出CD = CE = 1/2 * AB。
三垂直模型的应用： 我们还可以注意到三角形ABD和三角形DFE中，有三条垂直关系。这是一个非常经典的模型，称为"三垂直模型"。根据这个模型，我们可以得出ABD和DFE是全等的。由于∠BAD = 22.5度且∠DFE = 22.5度，而两个角相等的两个三角形的边也相等，我们可以得出AB = DE。
问题求解： 我们已经获得了一系列关键信息：CD = 1/2 * AB，AB = DE，DE = CD + CE。由于AB = 14，我们可以求解CD的长度。
结论： 通过逐步推导和应用等腰三角形性质、角平分线、三垂直模型等知识，我们成功解决了这道中考数学难题。尽管题目难度较高，但合理运用几何性质和思维方法，我们能够高效地找到解答。这道题目充分展示了数学中的技巧和美妙，希望大家能够从中受益，加深对几何知识的理解。
小结： - 角度关系的推导：利用已知角度求解其他角度。 - 构造等腰三角形：通过做垂线构造等腰性质。 - 等腰三角形性质：利用等腰三角形性质计算边长。 - 三垂直模型：应用全等三角形的性质解决问题。
这道题目涉及了多种几何性质和推导方法，是一道经典且具有代表性的题目。希望大家能够掌握其中的解题思路，为解决类似问题提供有益的参考。
