高中数学中有很多定理和相关的题目，以下是一些常见的定理及其相关题目：
- 皮亚诺定理（鸽巢原理）：如果有n+1个物体放进n个集合中，那么至少有一个集合中至少有两个物体。
例题：有10个苹果放在9个篮子里，证明至少有一个篮子里至少有两个苹果。
- 勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
例题：已知一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
- 中值定理：对于一个连续函数，在一个闭区间上，至少存在一个点使得该点的函数值等于函数在该区间上的平均值。
例题：证明函数f(x) = x²在区间[0, 1]上存在一个点c，使得f(c) = 2c。
- 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内存在一个点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
例题：证明函数f(x) = sin(x)在区间[0, π/2]上存在一个点c，使得f(π/2) - f(0) = f'(c)(π/2 - 0)。
- 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数序列a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a1² + a2² + ... + an²)√(b1² + b2² + ... + bn²)。
例题：已知a, b, c是实数，求证|ab + bc + ca| ≤ √(a² + b² + c²)√(a² + b² + c²)。
以上只是一些常见的定理和相关题目，高中数学中还有很多其他的定理和题目。在学习过程中，建议多理解定理的含义和证明过程，并通过练习题目来巩固和应用所学的知识。
