判断数列最大项、最小项的新方法
引言
这篇文章将介绍一个新的方法来判断数列的最大项和最小项。我们将通过观察数列的增减性来找到最大、最小项的位置。
增减性的判断
以图为例，数列先递增后递减，增减性只改变了一次。我们可以观察到最大项实际上是递增部分的最后一项，而最小项则是递减部分的最后一项。因此，只要判断数列的增减性，就能找到最大、最小项。
商法的运用
对于所有项都是正数的数列，递增时，一项比一项大，后一项和前一项的比值大于一；递减时，一项比一项小，比值小于一。因此，我们可以通过后一项和前一项的比值来判断数列的增减性。在实际计算中，这就是计算an除以an减一，也被称为商法。
方法的应用
我们现在用商法来求解一个题目。已知数列an等于7/9的N次方乘N，我们要求这个数列的最大项是第几项。
首先，我们要找到递增的最后一项。因为an的每项都是正数，我们先计算an除以an减一大于一的情况。将an减一带入计算，指数部分被约掉，只剩下一个7/9。得到不等式N减7/9乘N大于一，化简得N大于九。接着，我们考虑N减九的情况： - 当N小于等于四时，数列是递增的； - 当N大于等于五时，数列是递减的。
因此，最大项是递增部分的最后一项，即A4。
接下来，我们再来找最小项。假设数列an等于9/8的N次方乘N分之一，我们要找到最小项的位置。
根据前面的介绍，最小项是递减部分的最后一项。同样地，我们使用商法来判断递减性。将an减一带入计算，得到不等式N小于九。因此，只有当N小于等于八时，数列是递减的，最小项是A8。
注意事项
在进行计算时，要注意如果解得不等式的那一边是一个正整数，说明在该位置上比值为一，即存在两个最大或最小项。因此，要格外注意这种情况。
总结
对于增减性只改变一次的数列，最大项是递增部分的最后一项，最小项是递减部分的最后一项。对于正数列，特别是带有指数性质的数列，我们可以通过做商法计算an除以an减一和一的大小关系来判断增减性。大于一表示递增，小于一表示递减。另外，需要注意的是，如果解得不等式的那一边是一个正整数，那么意味着存在两个最大或最小项。
现在，你已经理解了以上方法，赶紧去应用它们来解题吧！
